数II・B・C 公式コレクション

点(1, 2)と直線 3x+4y−1=0 の距離はいくつ？

1. 2
2. 10
3. 2/5
4. 12/5

正解：1番

距離の公式 |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) に代入すると |3+8−1|/5=10/5=2。分子の絶対値を忘れたり、√(a²+b²)で割り忘れると「10」になってしまう。「代入して絶対値、ルートで割る」とセットで覚えよう。

円 x²+y²−4x+6y+4=0 の中心と半径は？

1. 中心(2, −3)、半径3
2. 中心(−2, 3)、半径3
3. 中心(2, −3)、半径9
4. 中心(−2, −3)、半径3

正解：1番

平方完成すると (x−2)²+(y+3)²=9 となる。(x−2)²の中心のx座標は「+2」で、符号が逆になるのがひっかけポイント。半径は9ではなく√9=3であることにも注意。

2点 A(1, 2)、B(7, 5) を結ぶ線分ABを 2:1 に内分する点の座標は？

1. (5, 4)
2. (3, 3)
3. (4, 7/2)
4. (13, 8)

正解：1番

m:n内分点は ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n))。2:1なら ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4)。比を逆にすると(3, 3)、外分すると(13, 8)になる。「相手側の比を掛ける（たすきがけ）」と覚えよう。

円 x²+y²=5 と直線 y=2x+5 の位置関係は？

1. 1点で接する
2. 異なる2点で交わる
3. 共有点をもたない
4. 直線が円の中心を通る

正解：1番

中心(0, 0)と直線 2x−y+5=0 の距離は 5/√5=√5 で、半径√5とちょうど等しいので接する。d=r なら接する、d<r なら2点で交わる、d>r なら共有点なし。判別式より「中心との距離 d と半径 r の比較」が速い。

2点 A(0, 0)、B(6, 0) に対し AP:BP=1:2 を満たす点Pの軌跡は？

1. 中心(−2, 0)、半径4の円
2. 中心(2, 0)、半径4の円
3. 中心(−2, 0)、半径16の円
4. 線分ABの垂直二等分線

正解：1番

AP:BP=1:2 から 4AP²=BP² として整理すると (x+2)²+y²=16。距離の比が1:1でない2定点からの軌跡は「アポロニウスの円」になる。1:1のときだけ垂直二等分線になる点がひっかけ。円はAに近い側（比の小さい側）に寄ることも確認しよう。

2直線 x+2y−3=0 と ax+3y+1=0 が平行になる定数aの値は？

1. a = 3/2
2. a = −6
3. a = 6
4. a = −3/2

正解：1番

平行条件は a₁b₂−a₂b₁=0 なので 1·3−2·a=0 より a=3/2。a=−6 は垂直条件 a₁a₂+b₁b₂=0 を使ったときの答えで、定番のひっかけ。「平行はたすきがけ＝0、垂直は内積型＝0」と区別して覚えよう。

sin(α+β) を展開した式として正しいものは？

1. sinα cosβ + cosα sinβ
2. sinα cosβ − cosα sinβ
3. cosα cosβ − sinα sinβ
4. sinα sinβ + cosα cosβ

正解：1番

sinの加法定理は「サイン・コサイン、コサイン・サイン」の順で、(α+β)なら符号はそのまま＋。符号が−なのは sin(α−β) のとき。「咲いたコスモス、コスモス咲いた」の語呂で順番を覚えよう。

cos(α+β) を展開した式として正しいものは？

1. cosα cosβ − sinα sinβ
2. cosα cosβ + sinα sinβ
3. sinα cosβ + cosα sinβ
4. sinα sinβ − cosα cosβ

正解：1番

cosの加法定理は「コスコス・サインサイン」で、(α+β)のとき符号が−に反転するのが最大の注意点。＋になるのは cos(α−β)。「コスモスコスモス咲かない咲かない（符号が逆）」で覚えよう。

cos2θ を sinθ だけで表した式は？

1. 1 − 2sin²θ
2. 1 + 2sin²θ
3. 2sin²θ − 1
4. 1 − 2cos²θ

正解：1番

cos2θ=cos²θ−sin²θ に cos²θ=1−sin²θ を代入すると 1−2sin²θ。符号を逆にした 2sin²θ−1 や、cosで表した 2cos²θ−1 と混同しやすい。「sinで表すと1が先頭、cosで表すと−1が最後」と整理して覚えよう。

sin75° の値は？

1. (√6 + √2)/4
2. (√6 − √2)/4
3. (√2 + √6)/2
4. (1 + √3)/4

正解：1番

75°=45°+30° と分けて加法定理を使うと sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4。(√6−√2)/4 は sin15° の値で、符号ミスの典型。「大きい角ほど値も大きい（＋の方が75°）」で検算できる。

sinθ + √3cosθ を合成した式は？

1. 2sin(θ + π/3)
2. 2sin(θ + π/6)
3. √2 sin(θ + π/3)
4. 2sin(θ − π/3)

正解：1番

振幅は √(1²+(√3)²)=2、cosα=1/2、sinα=√3/2 から α=π/3。係数を逆に見て π/6 としてしまうのが頻出ミス。「sinの係数がcosα側、cosの係数がsinα側」に対応することを座標(1, √3)の偏角で確認しよう。

sinθ + cosθ = 1/2 のとき、sinθcosθ の値は？

1. −3/8
2. 3/8
3. −3/4
4. 1/8

正解：1番

両辺を2乗すると sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4 となり、1+2sinθcosθ=1/4 から sinθcosθ=−3/8。sin²θ+cos²θ=1 を忘れて 2sinθcosθ=1/4 とすると 1/8 になってしまう。「和が与えられたらまず2乗、1が出てくる」が鉄則。

8^(2/3) の値は？

1. 4
2. 16
3. 2
4. 16/3

正解：1番

8=2³ なので 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4。指数法則 (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ を使う。「3分の2乗＝3乗根してから2乗」なので ³√8=2、2²=4 と2段階で考えてもよい。指数を掛け算し忘れると16などのミスになる。

log₁₀2 + log₁₀5 の値は？

1. 1
2. log₁₀7
3. 10
4. 0

正解：1番

logの和は真数の積：log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1。真数どうしを足して log₁₀7 とするのが典型的な誤り。「足し算は掛け算に化ける」が対数法則の基本。

log₃(1/27) の値は？

1. −3
2. 3
3. −1/3
4. 1/3

正解：1番

1/27=3⁻³ なので log₃3⁻³=−3。「3を何乗したら1/27か」と読み替えるのがコツ。逆数だからとマイナスを忘れて3としたり、−1/3と混同しないよう「真数が1より小さければlogは負」で検算しよう。

log₄8 の値は？

1. 3/2
2. 2/3
3. 2
4. 3

正解：1番

底の変換公式で log₄8=log₂8/log₂4=3/2。分母と分子を逆にすると2/3になるのがひっかけ。「変換後の底は自由、真数が分子・元の底が分母」と位置関係で覚えよう。4^(3/2)=8 で検算できる。

方程式 9ˣ = 27√3 を解くと x = ？

1. 7/4
2. 3/2
3. 7/2
4. 4/3

正解：1番

底を3にそろえると 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2) なので 2x=7/2、x=7/4。√3=3^(1/2) の変換を忘れて 27だけで比べると 3/2 になる。「指数方程式はまず底をそろえる」が第一手。

log₁₀2 = 0.3010 とするとき、2⁵⁰ は何桁の整数か？

1. 16桁
2. 15桁
3. 17桁
4. 14桁

正解：1番

log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05 なので 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶ となり16桁。logの値15をそのまま桁数と答えるのが最頻出ミス。「桁数＝logの整数部分＋1」と必ず1を足すことを覚えよう。

f(x) = x³ − 3x² の導関数 f'(x) は？

1. 3x² − 6x
2. 3x² − 3x
3. x² − 6x
4. 3x² − 6

正解：1番

(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ を各項に使うと f′(x)=3x²−6x。係数3を掛け忘れたり、−3x²の微分で係数だけ下ろして−3xとするのが定番ミス。「指数を前に下ろして、指数を1減らす」を全項に丁寧に適用しよう。

∫₀¹ (3x² + 2x) dx の値は？

1. 2
2. 5
3. 1
4. 3

正解：1番

原始関数は x³+x² なので [x³+x²]₀¹=1+1=2。積分せずに被積分関数へ x=1 を代入すると5になってしまう。「まず積分してから端点を代入」の手順を崩さないこと。

曲線 y = x² 上の点 (3, 9) における接線の傾きは？

1. 6
2. 9
3. 3
4. 2

正解：1番

接線の傾きは微分係数 f′(3)。y′=2x に x=3 を代入して6。y座標の9やx座標の3をそのまま答えないよう注意。「傾きが欲しければまず微分」が合言葉。

f(x) = x³ − 3x の極大値は？

1. x = −1 で極大値 2
2. x = 1 で極大値 2
3. x = −1 で極大値 −2
4. x = 1 で極大値 −2

正解：1番

f′(x)=3x²−3=0 より x=±1。増減表を書くと x=−1 の前後で f′ が＋から−に変わるので極大で、f(−1)=−1+3=2。x=1 は極小（値−2）。「x³の係数が正なら山が先（左が極大）」とグラフの形で覚えよう。

曲線 y = x² − 3x と x軸で囲まれた部分の面積は？

1. 9/2
2. 9
3. 27/2
4. 3/2

正解：1番

x軸との交点は x=0, 3。6分の1公式で |1|·(3−0)³/6=27/6=9/2。区間で y≤0 なのでマイナスを付けて積分することを忘れると符号ミスになる。「囲まれた面積は (β−α)³/6」で一発。

放物線 y = x² と直線 y = 2x + 3 で囲まれた部分の面積は？

1. 32/3
2. 64/3
3. 16/3
4. 8/3

正解：1番

x²=2x+3 から x²−2x−3=0、交点は x=−1, 3。6分の1公式で (3−(−1))³/6=64/6=32/3。約分を忘れて64/6のまま選択肢を探したり、(β−α)を2乗してしまうと16/3などになる。「差の3乗を6で割る」を正確に。

初項a、末項l、項数nの等差数列の和Sを表す式は？

1. S = n(a + l)/2
2. S = n(a − l)/2
3. S = n(a + l)
4. S = (a + l)/2

正解：1番

「(初項＋末項)×項数÷2」が等差数列の和の公式。台形の面積（(上底+下底)×高さ÷2）と同じ形とイメージすると忘れない。÷2を忘れる、項数nを掛け忘れるのが典型ミス。

Σ(k=1→n) k を n の式で表すと？

1. n(n+1)/2
2. n(n−1)/2
3. n(n+1)(2n+1)/6
4. n²(n+1)²/4

正解：1番

1からnまでの自然数の和は n(n+1)/2。n(n−1)/2 は「1からn−1まで」の和で、範囲のずれによる誤り。n=2で検算すると 1+2=3=2·3/2 と確認できる。「隣どうしの積の半分」と覚えよう。

Σ(k=1→n) k² を n の式で表すと？

1. n(n+1)(2n+1)/6
2. n(n+1)/2
3. n²(n+1)²/4
4. n(n+1)(n+2)/6

正解：1番

2乗和の公式は n(n+1)(2n+1)/6。n²(n+1)²/4 は3乗和（Σk³）の公式で混同しやすい。n=2 で 1+4=5=2·3·5/6 と検算すると確実。「6で割る、真ん中に2n+1」がキーワード。

初項3、公比2の等比数列の初項から第5項までの和は？

1. 93
2. 96
3. 48
4. 31

正解：1番

公式 a(rⁿ−1)/(r−1) に代入して 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93。3+6+12+24+48=93 と直接足しても確認できる。初項3を掛け忘れると31、第5項48を最終項と取り違えるミスにも注意。

a₁ = 1、aₙ₊₁ = aₙ + 2n で定まる数列の一般項は？

1. aₙ = n² − n + 1
2. aₙ = n² + n + 1
3. aₙ = n² − n − 1
4. aₙ = 2n − 1

正解：1番

階差が2nなので n≥2 で aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1（n=1でも成立）。Σの上端を n としてしまうと n²+n+1 になる、これが最大のひっかけ。「階差の和は n−1 まで」と唱えよう。a₂=3 で検算。

a₁ = 1、aₙ₊₁ = 3aₙ + 2 で定まる数列の一般項は？

1. aₙ = 2·3ⁿ⁻¹ − 1
2. aₙ = 2·3ⁿ⁻¹ + 1
3. aₙ = 2·3ⁿ − 1
4. aₙ = 3ⁿ⁻¹ − 1

正解：1番

特性方程式 α=3α+2 から α=−1。aₙ₊₁+1=3(aₙ+1) と変形でき、{aₙ+1} は初項2・公比3の等比数列なので aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹、よって aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1。最後に「−α」ではなく「+α分を戻す」符号処理を誤りやすい。a₂=5 で検算すれば安心。

a→ と b→ のなす角を θ とするとき、内積 a→·b→ の定義は？

1. |a→||b→|cosθ
2. |a→||b→|sinθ
3. |a→||b→|tanθ
4. |a→| + |b→|

正解：1番

内積の定義は「大きさの積×cosθ」。sinθ を使うのは平行四辺形の面積などで、内積とは別物。「内積は cos、影（正射影）のイメージ」と結びつけて覚えよう。θ=90°で内積0になることとも整合する。

a→ = (1, 2)、b→ = (3, −1) のとき、内積 a→·b→ の値は？

1. 1
2. 5
3. −1
4. 7

正解：1番

成分での内積は x どうし、y どうしの積の和：1×3+2×(−1)=3−2=1。y成分の符号（−1）を落として 3+2=5 とするのが典型ミス。内積の答えはベクトルではなく「1つの数」になることも押さえよう。

零ベクトルでない a→ と b→ が垂直であるための条件は？

1. a→·b→ = 0
2. a→·b→ = 1
3. a→·b→ = |a→||b→|
4. a₁b₂ − a₂b₁ = 0

正解：1番

垂直なら θ=90° で cosθ=0 だから内積が0。a₁b₂−a₂b₁=0 は平行条件で、垂直条件と最も混同しやすい。「垂直＝内積ゼロ、平行＝たすきがけゼロ」とペアで暗記しよう。

a→ = (2, 3) と b→ = (x, 6) が平行になる x の値は？

1. 4
2. −9
3. −4
4. 9

正解：1番

平行条件 a₁b₂−a₂b₁=0 より 2×6−3x=0、x=4。内積=0（垂直条件）で解くと 2x+18=0 から x=−9 になってしまう。成分比で 2:3=x:6 と考えても x=4 が出る。「平行は比が等しい」で確認を。

線分ABを 2:1 に内分する点Pの位置ベクトル p→ は？（A、Bの位置ベクトルを a→、b→ とする）

1. p→ = (a→ + 2b→)/3
2. p→ = (2a→ + b→)/3
3. p→ = (a→ + 2b→)/2
4. p→ = (2a→ − b→)/3

正解：1番

m:n内分は (n·a→+m·b→)/(m+n)。2:1 なら (1·a→+2·b→)/3。比の数字を近い側に付けてしまう逆転ミスが最頻出で、「比は相手側（遠い方の点）に掛ける」と覚える。分母は必ず m+n＝比の和。

|a→| = 3、|b→| = 2、a→·b→ = −3 のとき、|a→ + b→| の値は？

1. √7
2. √19
3. 7
4. √13

正解：1番

|a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7 なので |a→+b→|=√7。内積の符号を＋にして 9+6+4=19 とするのが典型ミス。「大きさは必ず2乗してから展開」、最後にルートを戻すのも忘れずに。

複素数 z = 1 + i の極形式は？（0 ≤ 偏角 < 2π）

1. √2(cos π/4 + i sin π/4)
2. 2(cos π/4 + i sin π/4)
3. √2(cos π/2 + i sin π/2)
4. √2(cos π/4 − i sin π/4)

正解：1番

絶対値は √(1²+1²)=√2、点(1, 1)の偏角は π/4。絶対値を1²+1²=2のまま使うミスと、偏角の符号ミスが定番。「r は必ずルート、偏角は点の位置を図で確認」を習慣に。

複素数 z = 3 + 4i の絶対値 |z| は？

1. 5
2. 7
3. 25
4. √7

正解：1番

|z|=√(3²+4²)=√25=5。実部と虚部をそのまま足して7としたり、2乗和の25のまま答えるのがよくある誤り。3:4:5 の直角三角形を思い出せば一瞬。「絶対値は原点からの距離」だ。

ド・モアブルの定理 (cosθ + i sinθ)ⁿ = ？

1. cos nθ + i sin nθ
2. cosθⁿ + i sinθⁿ
3. n(cosθ + i sinθ)
4. cosⁿθ + i sinⁿθ

正解：1番

n乗すると「偏角がn倍」になるのがド・モアブルの定理。角θ自体をn乗したり、cosをn乗したりする形はすべて誤り。「掛け算は偏角の足し算、だからn乗は偏角n倍」と回転のイメージで覚えよう。

(1 + i)⁴ の値は？

1. −4
2. 4
3. −4i
4. 4i

正解：1番

(1+i)²=1+2i+i²=2i なので (1+i)⁴=(2i)²=−4。i²=−1 の処理を忘れて＋4とするのが典型ミス。極形式なら絶対値 (√2)⁴=4、偏角 4×45°=180° で −4 と即答できる。ド・モアブルの威力を実感できる一問。

複素数平面上で、点 z を原点を中心に +90°（π/2）回転した点を表す式は？

1. iz
2. −iz
3. z̄
4. −z

正解：1番

角θの回転は (cosθ+i sinθ) を掛けること。θ=90° なら cos90°+i sin90°=i なので iz。−iz は −90°回転、−z は180°回転、z̄ は実軸対称で回転ではない。「i を掛ける＝反時計回りに90°」は複素数平面の合言葉。

双曲線 x²/4 − y²/5 = 1 の焦点の座標は？

1. (±3, 0)
2. (±1, 0)
3. (0, ±3)
4. (±√5, 0)

正解：1番

双曲線では c²=a²+b² なので c²=4+5=9、焦点は (±3, 0)。楕円の c²=a²−b² と混同して 4−5 や |4−5|=1 とするのが最大の罠。「楕円は引く、双曲線は足す」を確実に区別。x²の項が正なので焦点はx軸上にある。

確率変数Xと定数a、bについて、E(aX + b) = ？

1. aE(X) + b
2. aE(X)
3. a²E(X) + b
4. aE(X) − b

正解：1番

期待値は線形性をもつので E(aX+b)=aE(X)+b。定数bはそのまま残るのがポイント。分散の公式（bが消える）と混同して b を落とすのが典型ミス。「平均は平行移動すればそのままズレる」とイメージしよう。

確率変数Xと定数a、bについて、V(aX + b) = ？

1. a²V(X)
2. aV(X) + b
3. a²V(X) + b
4. aV(X)

正解：1番

分散は「散らばり」なので平行移動bでは変わらず消え、倍率aは2乗で効いて a²V(X)。bを残す、aを2乗し忘れる、の2つが頻出ミス。「分散のaは2乗、bは消える」とリズムで覚えよう。

確率変数Xが二項分布 B(100, 0.2) に従うとき、Xの分散 V(X) は？

1. 16
2. 20
3. 4
4. 80

正解：1番

二項分布の分散は np(1−p)=100×0.2×0.8=16。np=20 は期待値であり、分散と取り違えやすい。4は標準偏差√16。「期待値np、分散はさらに(1−p)を掛ける」とセットで覚えること。

Xが正規分布 N(50, 10²) に従うとき、X = 70 に対応する標準化変数 z の値は？

1. 2
2. 20
3. 0.2
4. −2

正解：1番

標準化は z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2。σで割り忘れると20、分散100で割ると0.2になる。N(50, 10²) の「10²」は分散で、割るのは標準偏差10である点が最大の注意点。「引いて、σで割る」の2ステップ。

母標準偏差σが既知のとき、大きさnの標本の平均x̄から作る母平均mの95%信頼区間は？

1. x̄ − 1.96·σ/√n ≤ m ≤ x̄ + 1.96·σ/√n
2. x̄ − 1.96σ ≤ m ≤ x̄ + 1.96σ
3. x̄ − 1.96·σ/n ≤ m ≤ x̄ + 1.96·σ/n
4. x̄ − 2.58·σ/√n ≤ m ≤ x̄ + 2.58·σ/√n

正解：1番

標本平均の標準偏差は σ/√n なので、95%なら x̄±1.96·σ/√n。σのまま使う（√nで割り忘れる）、nで割ってしまう、が2大ミス。2.58は99%信頼区間の値でこれも定番のひっかけ。「95%は1.96、幅はσ/√n」を呪文にしよう。

母標準偏差12の母集団から大きさ36の無作為標本をとるとき、標本平均 X̄ の標準偏差は？

1. 2
2. 1/3
3. 12
4. 6

正解：1番

標本平均の標準偏差は σ/√n=12/√36=12/6=2。√を付けずに 12/36=1/3 とするのが最頻出ミスで、母標準偏差12のままも誤り。「標本平均はnが大きいほど散らばりが小さくなる、その縮み方は√n分の1」と理解しておこう。